Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet kiemelt publikációk

2020

  • Hutchcroft T, Pete G: Kazhdan groups have cost 1, INVENTIONES MATHEMATICAE 221:3 873-891. (2020) http://real.mtak.hu/122154/
  • Pach J, Tomon I: On the chromatic number of disjointness graphs of curves, JOURNAL OF COMBINATORIAL THEORY SERIES B 144: 167-190. (2020) http://real.mtak.hu/122157/
  • Nemes G, Daalhuis AB: Large-parameter asymptotic expansions for the Legendre and allied functions, SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS 52:1 437-470. (2020) http://real.mtak.hu/122158/
  • Nagy J, Némethi A: The Abel map for surface singularities II. Generic analytic structure, ADVANCES IN MATHEMATICS 371: Paper: 107268 (2020) http://real.mtak.hu/122159/
  • Mészáros A: The distribution of sandpile groups of random regular graphs, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373: 6529-6594. (2020) http://real.mtak.hu/112305/
  • Mészáros A: Limiting entropy of determinantal processes, ANNALS OF PROBABILITY 48:5 2615-2643. (2020) http://real.mtak.hu/112304/
  • Böröczky KJ, Lutwak E, Yang D, Zhang G, Zhao Y: The Gauss image problem, COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED MATHEMATICS 73:7 1406-1452. (2020) http://real.mtak.hu/114316/
  • Holmsen AF, Nassajian MH, Pach J, Tardos G: Two extensions of the Erdős-Szekeres problem, JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY 22:12 3981-3995. (2020) http://real.mtak.hu/112454/
  • Gehér GP, Titkos T, Virosztek D: Isometric study of Wasserstein spaces – the real line, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373: 5855-5883. (2020) http://real.mtak.hu/112312/
  • Kiss G, Malikiosis RD, Somlai G, Vizer M: On the discrete Fuglede and Pompeiu problems, ANALYSIS & PDE 13:3 765-788. (2020) http://real.mtak.hu/92457/
  • Harcos G, Soltész D: New bounds on even cycle creating Hamiltonian paths using expander graphs, COMBINATORICA 40: 435-454. (2020) http://real.mtak.hu/122160/
  • Domokos M, Drensky V: Cocharacters for the weak polynomial identities of the Lie algebra of 3 × 3 skew-symmetric matrices, ADVANCES IN MATHEMATICS 374: Paper: 107343 (2020) http://real.mtak.hu/112597/
  • Lutsko C, Tóth B: Invariance Principle for the Random Lorentz Gas – Beyond the Boltzmann-Grad Limit, COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS 379: 589-632. (2020) http://real.mtak.hu/112591/
  • Alfieri A, Kang S, Stipsicz AI: Connected Floer homology of covering involutions, MATHEMATISCHE ANNALEN 377:3-4 1427-1452. (2020) http://real.mtak.hu/112241/
  • Abért M, Tóth LM: Uniform rank gradient, cost, and local-global convergence, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373:4 2311-2329. (2020) http://real.mtak.hu/122162/

2020 kiemelt tudományos eredményei

Algebrai geometria és differenciáltopológia osztály

Publikáció: Nagy J, Némethi A: The Abel map for surface singularities II. Generic analytic structure, ADVANCES IN MATHEMATICS 371: Paper: 107268 (2020) http://real.mtak.hu/122159/

A klasszikus algebrai geometria egyik centrális kutatási területe a Brill-Noether-elmélet. Ez az algebrai görbék tulajdonságait tanulmányozza. Az algebrai görbéket régebben még többdimenziós polinomok zérushelyeiként írták le, a modern geometria már absztrakt görbékként képzeli el őket, és pont a Brill-Noether-elmélet az, amely ezen görbéknek a projektív terekbe való különböző beágyazhatóságait tanulmányozza. (1. ábra) Ezeket a görbén értelmezhető vonalnyalábok kohomológiái írják le. A válasz függhet a görbe algebrai tulajdonságaitól, a hagyományos Brill-Noether-elmélet a generikus struktúrát célozza meg. A fő technikai apparátus az Abel-leképezés, amely divizorokhoz vonalnyalábokat rendel, és a leképezés fibrum-struktúrája hordozza a kulcsinformációt.

1. Komplex görbék és Brill-Noether-elmélet

Nagy János és Némethi András az utóbbi években írt cikksorozatban kidolgozta az Abel-leképezések elméletét a komplex analitikus felületszingularitások esetére, és a klasszikus Brill-Noether-feladatkör számos kérdését válaszolta meg ebben az esetben. Itt nem csak az eggyel magasabb dimenzió akadályait kellett legyőzni, hanem a szingularitás-elmélet számos technikai eredményét kellett beépíteni az új elméletbe. (Ezek írják le egy felületen megjelenő degenerált, szinguláris pont jellemzőit.)

Az új környezet, ahol a vonalnyalábok kohomológiáit meg kell határozni, az a felület szingularitás feloldásának tere, amely bizonyos (úgynevezett kivételes) görbék infinitezimális környezete. Itt kellett a divizorok terét és az új Abel-leképezést értelmezni, meghatározni a fibrum-struktúrát, kiszámítani a vonalnyalábok kohomológiáit, és jellemezni azon eseteket amikor az Abel-leképezés domináns. Ez az úttörő munka hét cikkben jelent meg, a munka folytatódik.

A cikksorozat második cikke (amelyet az Advances in Mathematics közölt le) tanulmányozza a generikus analitikus esetet (amely a klasszikus Brill-Noether-eset megfelelője). Az eredmények rávilágítanak a felületszingularitások két alaposztályozásának egymásra hatására is. Az egyik a topológiai osztályozás, azon tulajdonságok jellemzése, amik csak a topológiától függnek, és amelyek a feloldási gráfból kombinatorikusan (elvileg) kiszámolhatók. Ezzel szemben az analitikus (algebrai) invariánsok sokkal mélyebb tulajdonságokat hordoznak, meghatározásuk néha reménytelen. Ennek ellenére a fenti cikkben a szerzőknek sikerült a generikus struktúra esetében leírni a legfontosabb analitikus invariánsokat a feloldási gráf kombinatorikájából. Ezen eredmények az Abel-leképezés bevezetése előtt teljesen reménytelennek számítottak. Ez határozottan igazolja az újonnan bevezetett Abel-leképezés fontosságát és erejét. Az a tény is kihangsúlyozandó, hogy az invariánsokra újonnan talált formulák is teljesen új típusúak, a topologikus kifejezések teljes átgondolására és újraértékelésére ösztökélnek.

Az újonnan meghatározott invariánsok között vannak a következők: a geometriai nem (génusz), a természetes vonal nyalábok kohomológiái, a lokális függvényalgebra különböző diszkrét jellemzője (mint a Hilbert-sor, vagy Poincaré-sor). Továbbá pár olyan ciklus azonosítása, amelyek az analitikus típust jellemzik: a maximális ideál ciklusa vagy a kohomológiai ciklus. A bizonyítások részben Laufer forradalminak értékelt deformáció-elméleti munkáira támaszkodnak, de ezek mellett számos új szerkesztés és ötlet vezetett a végső eredményekhez.


Csoportok és gráfok Lendület-kutatócsoport

Publikációk:

Mészáros A: The distribution of sandpile groups of random regular graphs, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373: 6529-6594. (2020) http://real.mtak.hu/112305/

Mészáros A: Limiting entropy of determinantal processes, ANNALS OF PROBABILITY 48:5 2615-2643. (2020) http://real.mtak.hu/112304/

Mészáros András bebizonyította, hogy d ≥ 3-ra véletlen d-reguláris irányított gráfok sandpile csoportjának p-Sylow részcsoportja a Cohen-Lenstra-heurisztikát követi, azaz, ha a csúcsok számával a végtelenbe tartunk, határértékben annak a valószínűsége, hogy a sandpile csoport p-Sylowja egy adott G véges kommutatív p-csoporttal izomorf, arányos |Aut(G)| inverzével. (2. ábra) Ez az eloszlás először Cohen és Lestra egy számelméleti sejtésében jelent meg. Mivel a sandpile csoportot úgy definiáljuk, mint a gráf redukált Laplace-mátrixának komagját, a fenti eredmény szempontjából relevánsabb Wood következő eredménye. Tekintsünk egy véletlen négyzetes mátrixot, ahol a mátrix elemei egész számok, függetlenek és nem-elfajultak egy bizonyos értelemben. Ekkor ezen mátrix komagjának p-Sylow részcsoportja aszimptotikusan a Cohen-Lenstra-heurisztikát követi. Mivel a véletlen d-reguláris gráfok Laplace-mátrixának elemei messze nem függetlenek, továbbá ezen mátrixok sokkal ritkábbak, mint a Wood eredményében szereplő mátrixok, ezért meglepő, hogy ezen véletlen mátrixok komagjainak p-Sylow részcsoportjai ugyanúgy viselkednek.

2. Egy sandpile csoport

Mészáros a véletlen d-reguláris irányítatlan gráfok sandpile csoportja p-Sylow részcsoportjának is meghatározta a határeloszlását, ez páratlan p-re egybeesik a Clancy, Leake, Kaplan, Payne és Wood által vizsgált eloszlással, ami a sűrű Erdős-Rényi-gráfok sandpile csoportjának Wood által vizsgált limeszében is felbukkan. Azonban, ha d páros és p = 2, akkor egy eddig nem vizsgált határeloszlást kapunk.

Mészáros eredményeinek egy további következménye az, hogy minden fix d ≥ 3-ra annak a valószínűsége, hogy egy véletlen d-reguláris gráf adjacencia mátrixa szinguláris, a nullához tart, ahogy a csúcsok száma tart végtelenhez. Ez megválaszolja Frieze és Vu egy nyitott kérdését. Ezt a problémát tőle függetlenül Huang is megoldotta.

Hasonló gondolatok kerültek alkalmazásra a következő (szintén Mészáros által megoldott) problémában. Vegyünk egy véges gráfot és egy r látósugarat. Válasszuk ki a gráf egy uniform véletlen csúcsát, amit gyökérnek nevezünk, majd tekintsük ennek a véletlen gyökérnek az r sugarú környezetét, így egy véletlen gyökeres r sugarú környezetet kapunk. Most vegyünk két gráfot. Azt mondjuk, hogy ezek lokális értelemben közel vannak egymáshoz, ha egy kellően nagy r sugárra, a fenti módon definiált véletlen környezetek eloszlása a két gráfra közel van egymáshoz. Ezt az informális definíciót precízzé téve definiálható egy jól viselkedő topológia azon gráfok terén, amelyeknek maximális fokszáma legfeljebb D, valamely fix D konstansra. Ezt a topológiát gyakran Benjamini-Schramm-topológiának nevezik. (3. ábra) Egy alapvető kérdés ebben a témakörben, hogy melyek a Benjamini-Schramm folytonos gráf paraméterek. Az egyik leghíresebb ilyen folytonossági tétel Lyons tétele, ami azt mondja ki, hogy  egy folytonos gráf paraméter, ahol  a G gráf feszítőfáinak számát jelöli. Ez a gráf paraméter másképpen úgy is kifejezhető, mint az uniform véletlen feszítőfa normalizált Shannon-entrópiája. Ha adott egy ortogonális projekció mátrix, akkor ennek segítségével egy most nem részletezett módon lehet definiálni egy véletlen bázisát a mátrix oszlopainak. Az így konstruált véletlen bázist diszkrét determinantal folyamatnak nevezzük. Az uniform mérték egy véges gráf feszítőfáin az egyik legfontosabb példa diszkrét determinantal folyamatokra. A Benjamini-Schramm-topológia mintájára definiálhatunk egy topológiát az olyan (G,P) párokon, ahol G egy véges gráf, P egy ortogonális projekció mátrix, ahol az oszlopok és sorok a G csúcsival vannak indexelve. Lyons tételét általánosítva Mészáros bebizonyította, hogy a (G,P) párhoz tartozó determinantal folyamat normalizált Shannon-entrópiája folytonos ebben a topológiában egy bizonyos technikai feszességi feltétel mellett.

3. Benjamini-Schramm-konvergencia


Algebra osztály

Publikáció: Domokos M, Drensky V: Cocharacters for the weak polynomial identities of the Lie algebra of 3 × 3 skew-symmetric matrices, ADVANCES IN MATHEMATICS 374: Paper: 107343 (2020) http://real.mtak.hu/112597/

A dolgozatban Domokos Mátyás a Bolgár Tudományos Akadémia Matematikai és Informatikai Intézetének igazgatójával, Vesselin Drenskyvel együttműködésben kiszámította a háromszor hármas ferdén szimmetrikus mátrixok polinominvariánsainak kokarakter sorát. Általános elvek alapján elegendő a multilineáris azonosságokkal foglalkozni. Ezek terén természetes módon hat a szimmetrikus csoport. A kokarakter sor a szimmetrikus csoport ezen reprezentációjának az izomorfia típusát kódolja. Bizonyos értelemben ez egy finomabb formában tárolja azt az információt, hogy adott fokszámban mennyi azonosság van.

Mátrixok és velük végzett műveletek a matematika majdnem minden ágában felbukkannak, ezért érdekes ezek tulajdonságainak, azonosságainak a vizsgálata. A háromszor hármas ferdén szimmetrikus mátrixokból álló Lie-algebra egy speciális, de alapvető fontosságú matematikai objektum. Ez a rá vonatkozó explicit kvantitatív eredmény illeszkedik egy általánosabb problémakörbe, méghozzá Lie-algebrák reprezentációi által kielégített polinomazonosságok tanulmányozásába. Lie-csoportok reprezentációi központi szerepet játszanak a matematika egészében és egyes elméleti fizikai alkalmazásokban, lévén, hogy általuk ragadhatók meg különféle struktúrák szimmetriái. Vizsgálatuk visszavezethető egy könnyebben kezelhető objektum, a Lie-algebrájuk reprezentációinak elemzésére. (4. ábra) A Lie-algebrák szerkezeti építőkövei az úgynevezett egyszerű Lie-algebrák. A tárgyalt eredmény más megfogalmazásban a legkisebb egyszerű Lie-algebra három dimenziós irreducibilis reprezentációja által teljesített polinomazonosságok kokarakter sorának a meghatározása. Az egyszerű Lie-algebrák irreducibilis reprezentációi közül korábban kizárólag ugyanezen Lie-algebrának a kettő dimenziós irreducibilis reprezentációja esetén volt ismert a megfelelő kokarakter sor, egy 1984-ben megjelent cikknek köszönhetően. Ez a tény azt jelzi, hogy csak erősen limitált, alacsony dimenziós esetekben van remény ennyire explicit és pontos eredmény elérésére.

4. Lie-csoport és Lie-algebra

Jelen esetben a megoldás kulcsa egy, a klasszikus invariánselméletben minden részletében megértett gyűrűvel, az ortogonális csoport vektor invariánsainak algebrájával való, az előre láthatónál is szorosabbnak bizonyuló kapcsolat volt. Egy, a kétdimenziós irreducibilis reprezentációról szóló megfelelő számolásban használt módszer továbbfejlesztése lehetőséget adott a kokarakter sorban szereplő multiplicitások felső becslésére. Mint utóbb kiderült, a keresett multiplicitás valójában majdnem minden összeadandóra eléri az így kapott korlátot. Ezt a szerzők az általános lineáris csoport polinomiális reprezentációinak elméletét alkalmazva úgy tudták igazolni, hogy a megfelelő tenzoralgebrában explicit legmagasabb súlyú vektort konstruáltak minden elvárt direkt összeadandóhoz. Ezáltal lényegében normálformát adtak a ferdén szimmetrikus háromszor hármas generikus mátrixok algebrájának elemeire, vagy más megfogalmazásban, bázist adtak a háromszor hármas ferdén szimmetrikus mátrixok terén értelmezett algebrai kifejezések terében. Az említett generikus mátrixalgebra természetes módon modulust alkot egy hatváltozós kommutatív polinomalgebra felett. A cikk ennek a modulusnak a szerkezetét is feltárja.

A dolgozat jelentősége, hogy alapvető matematikai objektumok algebrai invariánsainak kvantitatív leírásához járul hozzá egy új példa kiszámításával olyan területen, ahol nagyon kevés hasonló eredmény ismert, és vélhetően kevés hasonló elérésére van esély. Ugyanakkor erre a számításra támaszkodhat esetleges későbbi számítás ugyanúgy, mint ahogy a jelen munka is felhasznált klasszikus invariánselméleti formulákat.

2019

1. Kiemelkedő alapkutatási eredmény
Automorf formák Lendület-kutatócsoport

Az automorf formák szimmetriákban gazdag harmonikus hullámok, a különféle harmóniákat L-függvények kódolják el (a legklasszikusabb L-függvény a prímszámok elméletében alapvető Riemann-féle zetafüggvény). Ezekről az objektumokról szól a számelmélet számos híres és rendkívül nehéz problémája (pl. általános Riemann-sejtés, Ramanujan–Selberg-sejtés, Langlands-program), és ezeken az objektumokon keresztül kapcsolódik a számelmélet a matematika több, látszólag távol eső területéhez (pl. Lie-csoportok reprezentációelmélete, globális analízis, matematikai fizika). A közelmúltban az automorf formák kutatását több ízben Fields-éremmel jutalmazták: Vladimir Drinfeld (1990), Richard Borcherds (1998), Laurent Lafforgue (2002), Ngô Bao Châu (2010), Elon Lindenstrauss (2010), Peter Scholze (2018), Akshay Venkatesh (2018).

Egy Maass-forma

Egy Maass-forma

A modern analitikus számelmélet egyik központi témája az automorf formák becslése különböző családokban különféle normákban. Ilyen típusú becslésekre szükség van konkrét alkalmazásokban, de az elmélet fejlesztésében is vezető szerepet játszanak. A legklasszikusabb automorf formák a GL(1) és a GL(2) algebrai csoportok függvényei a különféle algebrai számtestek adélgyűrűje felett – ezeket már bő másfél évszázada vizsgálják. Logikus lépés a meglévő eredmények kiterjesztése a magasabb rendű GL(n) csoportokra, de az intenzív kutatások ellenére kevés az általános tétel. Éppen ezért nagy meglepetést keltett, amikor Blomer–Maga (2014) a racionális számok feletti PGL(n) csoport egy rögzített kompakt részhalmazán nemtriviális pontonkénti becslést tudott adni az összes szférikus Hecke–Maass-formára. Ezzel közel egy időben Brumley–Templier (2014) igazolta, hogy a kompakt részhalmazokra való megszorítás lényeges, mert enélkül az automorf forma jóval nagyobb értékeket is felvesz. Az Automorf formák Lendület pályázat keretén belül Blomer–Harcos–Maga [1, 2] belátta, hogy Brumley–Templier (2014) alsó becslése közel jár az igazsághoz, mert hasonló alakú felső becslés is érvényes. A klasszikus PGL(2) csoporton pedig Blomer–Harcos–Maga–Milićević [3] bizonyított erős és általános becslést, amely minden számtestre és nem csak szférikus formákra vonatkozik. Ez a tétel általánosít és élesít több korábbi eredményt, pl. Blomer–Harcos–Milićević (2016) becslését, amely aritmetikus hiperbolikus 3-sokaságokra vonatkozott. A friss eredményeket – a matematikában megszokott hosszas elbírálási folyamat után – elsőrangú folyóiratok fogadták el közlésre.

  • [1] Blomer V, Harcos G, Maga P: Analytic properties of spherical cusp forms on GL(n), JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE (2020) REAL arXiv
  • [2] Blomer V, Harcos G, Maga P: On the global sup-norm of GL(3) cusp forms, ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS 229 : 1 pp. 357-379., 23 p. (2019) DOI REAL Mathematical Reviews WoS Scopus arXiv
  • [3] Blomer V, Harcos G, Maga P, Milićević D: The sup-norm problem for GL(2) over number fields, JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY 22 : 1 pp. 1-53., 53 p. (2020) DOI  REAL Egyéb URL arXiv

2. Kiemelkedő alkalmazott kutatási eredmény
Mesterséges intelligencia kutatócsoport

Az automatikus tételbizonyítás és a gépi tanulás a mesterséges intelligencia két fontos ága, melyek az elmúlt évtized során egyaránt rengeteget fejlődtek. Nagyon izgalmas és egészen újszerű kutatási irány a két terület összekapcsolása. Az egyik kapcsolódási lehetőség, hogy a tételbizonyító bolyongását egy intelligens tanuló rendszer vezérelje. Az Intézet kutatócsoportja azt vizsgálta, hogyan tud egy tanuló rendszer rövid bizonyításokból hosszabb, de hasonló bizonyításokra általánosítani. Ez egy fontos feladat, hiszen az érdekes problémák megoldásához tipikusan sokezer elemi lépést kell megtenni helyesen, ám a jelenlegi módszerek általában csak néhány tucatnyi hosszú bizonyításokat találnak meg. A projekthez tartozik egy honlap (http://bit.ly/site_atpcurr) és egy nyilvános kódbázis (http://bit.ly/code_atpcurr). Munkájukat bemutatták a Bumerang konferencián, az Artificial Intelligence and Theorem Proving konferencián, a Dagstuhl Logic and Learning szemináriumon, valamint előadták a NeurIPS 2019 konferencia KR2ML workshopján decemberben. Elkészült továbbá egy cikk, mely éppen bírálat alatt van.

  • Zombori Zs, Csiszárik A, Michalewski H, Kaliszyk C, Urban J: Towards Finding Longer Proofs (2019) arXiv

Egy olyan rendszert építettek, amely megerősítéses tanulás segítségével keres bizonyításokat. A rendszert egy egyszerű aritmetikai tételgyűjtemény segítségével tesztelték, mely sok szempontból ideális gépi tanulási módszerek összehasonlítására: a bizonyítások hosszúak (akár több ezer lépés), ám erős struktúrával rendelkeznek, és sok a hasonlóság különböző problémák bizonyításai között. Egyszerűségük ellenére ezen aritmetikai problémák már komoly kihívást jelentenek a legerősebb tételbizonyító rendszerek számára (E, Vampire), leginkább a bizonyítások hossza miatt. A lenti grafikonon összehasonlítják rendszerüket (mely a FLoP nevet kapta) más, keresési tér felderítésére épülő módszerekkel. Látható, hogy a FLoP kifejezetten jól teljesít az aritmetikai problémákon.

2018

1. Kiemelkedő alapkutatási eredmény

A geometriai csoportelméletben úgy tekintünk algebrai struktúrákra, mint diszkrét geometrikus objektumokra. Például a d-dimenziós egész koordinátájú vektorok Zd csoportja az összeadással a d-dimenziós euklideszi tér egy diszkrét modellje, míg a d fajta betűből és azok inverzeiből kapható szavak Fd szabad csoportja egy végtelen fa, mely geometriailag sokkal inkább a hiperbolikus síkhoz hasonlít. Az 1. ábrán a 3-dimenziós hiperbolikus tér egy rácsát láthatjuk.

1. ábra

1. ábra

Csoportok költségét Levitt (1995) vezette be, majd Gaboriau (1998-2002) vizsgálta több nagyhatású cikkben: ez a szám azt méri, hogy ha a csoport struktúrájára invariáns véletlen módon minél kevesebb éllel összefüggővé akarjuk tenni a csoportot, akkor ezt mekkora átlagos fokszámmal tehetjük meg. Például a Zd csoport költsége 1, mert definiálhatunk benne egy eltolás-invariáns véletlen térkitöltő utat (lásd 2. ábra), azaz ebből a szempontból a d-dimenziós euklideszi tér is egy-dimenziós.

2. ábra

2. ábra

Gaboriau bizonyította, hogy az Fd szabad csoport költsége viszont d: ebben az esetben sehogy sem tudunk spórolni a fa-struktúrán. Gaboriau észrevette továbbá, hogy minden olyan esetben, amikor a költséget ki tudta számolni, az 1-gyel nagyobb, mint a csoport első ℓ2-Betti száma: ez az Atiyah (1976) által bevezetett mennyiség analitikus módon méri a csoport, mint geometrikus tér „lyukasságát”. Közel 20 évig volt nyitott a kérdés, hogy ez az összefüggés a Kazhdan-csoportokra is igaz-e. A Kazhdan-csoportok a számelméletben és dinamikai rendszerekben is központi szerepet játszó csoportok, olyan példákkal, mint magasabb rangú Lie-csoportok rácsai. Itt az első ℓ2-Betti számról régóta tudjuk, hogy 0, viszont ezek a csoportok sok szempontból „nagyok”, így az intuíciónak eléggé ellentmondónak tűnt, hogy a költségük 1 volna. Ám Pete Gábor és Tom Hutchcroft (Cambridge) mégis ezt igazolták, mégpedig a statisztikus fizikából származó, perkolációelméleti ötletek segítségével. A bizonyítás nagymértékben épít Lyons és Schramm (1999) munkájára, mely arról szólt, hogy csoportokban a végtelen perkolációs fürtök egymástól tipikusan megkülönböztethetetlenek.

A fenti eredményt a következő cikkben közölték a szerzők: Hutchcroft, G. Pete: Kazhdan groups have cost 1. [arXiv:1810.11015 math.GR]

2. Kiemelkedő alkalmazott kutatási eredmény

A Rényi Intézetben több program is a hálózatkutatás témája köré csoportosul. Napjainkban egyre több adat érhető el nagy hálózatokról, mint például az emberi agy idegsejtjeinek kapcsolódásai vagy a szociális hálók. Ez szükségessé teszi egy olyan matematikai nyelv, eszköztár kidolgozását, amelynek segítségével kezelni, értelmezni tudjuk ezeket az adatokat. Az Intézet munkatársai a korábbi években számos ilyen eszközt fejlesztettek ezen célból, de ezek nagyban függtek attól, hogy mennyire sűrűn fordulnak elő kapcsolódások a hálózatban. A 2018-as év áttörést hozott abból a szempontból, hogy lerakták egy olyan új megközelítés alapjait, amely egyesíteni tudja a legtöbb korábbi módszert és azokon messze túlmutat. Az úgynevezett „action convergence” fogalma már megszületése után közvetlen alkalmazásra talált a véletlen mátrixok témakörében, amelyet a Nobel-díjas magyar fizikus, Wigner Jenő kezdeményezett. Sikerült megoldani egy eddig nyitott kérdést véletlen mátrixok sajátvektorainak szerkezetéről. A véletlen mátrixok sajátvektorait többek között vezeték nélküli kommunikációban, wifi-hálózatoknál is alkalmazzák. A 3. és a 4. ábrán véletlen mátrixok sajátvektorainak tapasztalati eloszlása látható.

3. ábra

3. ábra

4. ábra

4. ábra

A hálózatokkal kapcsolatos kutatásaik több szempontból is kapcsolódnak a mesterséges intelligencia területén végzett munkájukhoz. Az Intézetben zajló mesterséges intelligencia kutatások elsősorban a modern neurális hálózatok köré csoportosulnak. Céljuk, hogy ennek a roppant sikeres és fontos területnek az elméleti alapjait feltárják. A kutatások igyekeznek megérteni a neurális hálózatok belsejében létrejövő, úgynevezett látens adatreprezentációk, mint magas dimenziós térbe ágyazott sokaságok struktúráját, illetve a látens reprezentációk kapcsolatát a hálózat általánosító képességével. Ezen vizsgálódások eredményeképp kidolgoztak egy úgynevezett gradiens regularizációs módszert, mely segíti a hálózatok általánosító képességét olyan helyzetekben, amikor kifejezetten kevés adatból kell tanulniuk.

A fenti eredményt a következő két cikkben közölték a szerzők:

  1. Á. Backhausz, B. Szegedy: On the almost eigenvectors of random regular graphs, The Annals of Probability (közlésre elfogadva);
  2. Á. Backhausz, B. Szegedy: Action convergence of operators and graphs. [arXiv:1811.00626]

3. Kiemelkedő társadalomban hasznosuló eredmény

A tőzsdei folyamatok napjainkban minden korábbinál intenzívebbé váltak. Ez részben a rendkívül sebes algoritmikus kereskedésnek köszönhető, melynél tízezred másodpercekben számolunk. Olyan bonyolult rendszer alakult ki, melyben az egyes befektetők elszenvedői, de egyben okozói is a szeszélyes árváltozásoknak. Hiába azonban a véletlen bőséges jelenléte, a rendszer mégis szigorú törvényszerűségeknek látszik engedelmeskedni. A pénzügyi matematika egyik fő feladata ezek feltárása. Ilyen „természeti törvények” ismerete fontos támpontokat adhat a kereskedés résztvevőinek csakúgy, mint a tőzsde szabályozóinak. A Rényi Intézet munkatársai kutatásaikban értékpapírok árfolyamatainak emlékezetét vizsgálták. A korábbi árak hatnak a mai árra. E hatás erőssége csökken, ahogyan mélyebbre megyünk a múltba. Ezt a jelenséget a korreláció statisztikai fogalma írja le jól: jelöljük r(k)-val annak mérőszámát, hogy a k másodperccel ezelőtti árváltozás mennyire befolyásolja a jelen pillanatban történő árváltozást. A korreláció lehet pozitív vagy negatív, mi most az egyszerűség kedvéért csak a pozitív esettel foglalkozunk, amikor az ár jellemzően a korábbi irányt tartja (azaz, ha eddig nőtt, akkor nagy eséllyel ezután is nőni fog).

Tipikusan k növekedésével az r(k) korreláció csökken, nagy k-ra már közel van a 0-hoz, hiszen a régen történt dolgok hatása elenyészik. A csökkenés üteme jól jellemzi az adott árfolyamat memóriáját. Tegyük fel, az egyszerűség kedvéért, hogy r(k) = kb valamely k (0 és 1 közötti) számra. Rásonyi Miklósnak és szerzőtársainak elsőként sikerült pontos összefüggést találniuk az árfolyamat memóriája és a hosszú távú befektetések viselkedése között. Megmutatták, hogy ha r(k) körülbelül kb, akkor nagy T-re a [0, T] intervallumon nagyjából T3-b az elérhető legjobb várható hozam. Ez egy általános összefüggés a memória és a kereskedés sikerének kapcsolatára. Megállapították azt is, hogyan függ ez a hozam a piac likviditásától, azaz attól, hogy mennyire olajozottan adhatók-vehetők az értékpapírok.

Megvizsgálták az optimális befektetés kockázatát is: az 5. ábra az egységnyi kockázatra jutó hozamot szemlélteti a b paraméter függvényében. Láthatóan minél kisebb b (azaz minél erősebb a folyamat memóriája), annál jobb eredménnyel lehet kereskedni.

5. ábra

5. ábra

A fenti eredményt a következő cikkben közölték a szerzők: Guasoni, M. Rásonyi: Trading fractional Brownian motion, SSRN repository number: 2991275