Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet kiemelt publikációk

2019

1. Kiemelkedő alapkutatási eredmény
Automorf formák Lendület-kutatócsoport

Az automorf formák szimmetriákban gazdag harmonikus hullámok, a különféle harmóniákat L-függvények kódolják el (a legklasszikusabb L-függvény a prímszámok elméletében alapvető Riemann-féle zetafüggvény). Ezekről az objektumokról szól a számelmélet számos híres és rendkívül nehéz problémája (pl. általános Riemann-sejtés, Ramanujan–Selberg-sejtés, Langlands-program), és ezeken az objektumokon keresztül kapcsolódik a számelmélet a matematika több, látszólag távol eső területéhez (pl. Lie-csoportok reprezentációelmélete, globális analízis, matematikai fizika). A közelmúltban az automorf formák kutatását több ízben Fields-éremmel jutalmazták: Vladimir Drinfeld (1990), Richard Borcherds (1998), Laurent Lafforgue (2002), Ngô Bao Châu (2010), Elon Lindenstrauss (2010), Peter Scholze (2018), Akshay Venkatesh (2018).

Egy Maass-forma

Egy Maass-forma

A modern analitikus számelmélet egyik központi témája az automorf formák becslése különböző családokban különféle normákban. Ilyen típusú becslésekre szükség van konkrét alkalmazásokban, de az elmélet fejlesztésében is vezető szerepet játszanak. A legklasszikusabb automorf formák a GL(1) és a GL(2) algebrai csoportok függvényei a különféle algebrai számtestek adélgyűrűje felett – ezeket már bő másfél évszázada vizsgálják. Logikus lépés a meglévő eredmények kiterjesztése a magasabb rendű GL(n) csoportokra, de az intenzív kutatások ellenére kevés az általános tétel. Éppen ezért nagy meglepetést keltett, amikor Blomer–Maga (2014) a racionális számok feletti PGL(n) csoport egy rögzített kompakt részhalmazán nemtriviális pontonkénti becslést tudott adni az összes szférikus Hecke–Maass-formára. Ezzel közel egy időben Brumley–Templier (2014) igazolta, hogy a kompakt részhalmazokra való megszorítás lényeges, mert enélkül az automorf forma jóval nagyobb értékeket is felvesz. Az Automorf formák Lendület pályázat keretén belül Blomer–Harcos–Maga [1, 2] belátta, hogy Brumley–Templier (2014) alsó becslése közel jár az igazsághoz, mert hasonló alakú felső becslés is érvényes. A klasszikus PGL(2) csoporton pedig Blomer–Harcos–Maga–Milićević [3] bizonyított erős és általános becslést, amely minden számtestre és nem csak szférikus formákra vonatkozik. Ez a tétel általánosít és élesít több korábbi eredményt, pl. Blomer–Harcos–Milićević (2016) becslését, amely aritmetikus hiperbolikus 3-sokaságokra vonatkozott. A friss eredményeket – a matematikában megszokott hosszas elbírálási folyamat után – elsőrangú folyóiratok fogadták el közlésre.

  • [1] Blomer V, Harcos G, Maga P: Analytic properties of spherical cusp forms on GL(n), JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE (2020) REAL arXiv
  • [2] Blomer V, Harcos G, Maga P: On the global sup-norm of GL(3) cusp forms, ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS 229 : 1 pp. 357-379., 23 p. (2019) DOI REAL Mathematical Reviews WoS Scopus arXiv
  • [3] Blomer V, Harcos G, Maga P, Milićević D: The sup-norm problem for GL(2) over number fields, JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY 22 : 1 pp. 1-53., 53 p. (2020) DOI  REAL Egyéb URL arXiv

2. Kiemelkedő alkalmazott kutatási eredmény
Mesterséges intelligencia kutatócsoport

Az automatikus tételbizonyítás és a gépi tanulás a mesterséges intelligencia két fontos ága, melyek az elmúlt évtized során egyaránt rengeteget fejlődtek. Nagyon izgalmas és egészen újszerű kutatási irány a két terület összekapcsolása. Az egyik kapcsolódási lehetőség, hogy a tételbizonyító bolyongását egy intelligens tanuló rendszer vezérelje. Az Intézet kutatócsoportja azt vizsgálta, hogyan tud egy tanuló rendszer rövid bizonyításokból hosszabb, de hasonló bizonyításokra általánosítani. Ez egy fontos feladat, hiszen az érdekes problémák megoldásához tipikusan sokezer elemi lépést kell megtenni helyesen, ám a jelenlegi módszerek általában csak néhány tucatnyi hosszú bizonyításokat találnak meg. A projekthez tartozik egy honlap (http://bit.ly/site_atpcurr) és egy nyilvános kódbázis (http://bit.ly/code_atpcurr). Munkájukat bemutatták a Bumerang konferencián, az Artificial Intelligence and Theorem Proving konferencián, a Dagstuhl Logic and Learning szemináriumon, valamint előadták a NeurIPS 2019 konferencia KR2ML workshopján decemberben. Elkészült továbbá egy cikk, mely éppen bírálat alatt van.

  • Zombori Zs, Csiszárik A, Michalewski H, Kaliszyk C, Urban J: Towards Finding Longer Proofs (2019) arXiv

Egy olyan rendszert építettek, amely megerősítéses tanulás segítségével keres bizonyításokat. A rendszert egy egyszerű aritmetikai tételgyűjtemény segítségével tesztelték, mely sok szempontból ideális gépi tanulási módszerek összehasonlítására: a bizonyítások hosszúak (akár több ezer lépés), ám erős struktúrával rendelkeznek, és sok a hasonlóság különböző problémák bizonyításai között. Egyszerűségük ellenére ezen aritmetikai problémák már komoly kihívást jelentenek a legerősebb tételbizonyító rendszerek számára (E, Vampire), leginkább a bizonyítások hossza miatt. A lenti grafikonon összehasonlítják rendszerüket (mely a FLoP nevet kapta) más, keresési tér felderítésére épülő módszerekkel. Látható, hogy a FLoP kifejezetten jól teljesít az aritmetikai problémákon.

2018

1. Kiemelkedő alapkutatási eredmény

A geometriai csoportelméletben úgy tekintünk algebrai struktúrákra, mint diszkrét geometrikus objektumokra. Például a d-dimenziós egész koordinátájú vektorok Zd csoportja az összeadással a d-dimenziós euklideszi tér egy diszkrét modellje, míg a d fajta betűből és azok inverzeiből kapható szavak Fd szabad csoportja egy végtelen fa, mely geometriailag sokkal inkább a hiperbolikus síkhoz hasonlít. Az 1. ábrán a 3-dimenziós hiperbolikus tér egy rácsát láthatjuk.

1. ábra

1. ábra

Csoportok költségét Levitt (1995) vezette be, majd Gaboriau (1998-2002) vizsgálta több nagyhatású cikkben: ez a szám azt méri, hogy ha a csoport struktúrájára invariáns véletlen módon minél kevesebb éllel összefüggővé akarjuk tenni a csoportot, akkor ezt mekkora átlagos fokszámmal tehetjük meg. Például a Zd csoport költsége 1, mert definiálhatunk benne egy eltolás-invariáns véletlen térkitöltő utat (lásd 2. ábra), azaz ebből a szempontból a d-dimenziós euklideszi tér is egy-dimenziós.

2. ábra

2. ábra

Gaboriau bizonyította, hogy az Fd szabad csoport költsége viszont d: ebben az esetben sehogy sem tudunk spórolni a fa-struktúrán. Gaboriau észrevette továbbá, hogy minden olyan esetben, amikor a költséget ki tudta számolni, az 1-gyel nagyobb, mint a csoport első ℓ2-Betti száma: ez az Atiyah (1976) által bevezetett mennyiség analitikus módon méri a csoport, mint geometrikus tér „lyukasságát”. Közel 20 évig volt nyitott a kérdés, hogy ez az összefüggés a Kazhdan-csoportokra is igaz-e. A Kazhdan-csoportok a számelméletben és dinamikai rendszerekben is központi szerepet játszó csoportok, olyan példákkal, mint magasabb rangú Lie-csoportok rácsai. Itt az első ℓ2-Betti számról régóta tudjuk, hogy 0, viszont ezek a csoportok sok szempontból „nagyok”, így az intuíciónak eléggé ellentmondónak tűnt, hogy a költségük 1 volna. Ám Pete Gábor és Tom Hutchcroft (Cambridge) mégis ezt igazolták, mégpedig a statisztikus fizikából származó, perkolációelméleti ötletek segítségével. A bizonyítás nagymértékben épít Lyons és Schramm (1999) munkájára, mely arról szólt, hogy csoportokban a végtelen perkolációs fürtök egymástól tipikusan megkülönböztethetetlenek.

A fenti eredményt a következő cikkben közölték a szerzők: Hutchcroft, G. Pete: Kazhdan groups have cost 1. [arXiv:1810.11015 math.GR]

2. Kiemelkedő alkalmazott kutatási eredmény

A Rényi Intézetben több program is a hálózatkutatás témája köré csoportosul. Napjainkban egyre több adat érhető el nagy hálózatokról, mint például az emberi agy idegsejtjeinek kapcsolódásai vagy a szociális hálók. Ez szükségessé teszi egy olyan matematikai nyelv, eszköztár kidolgozását, amelynek segítségével kezelni, értelmezni tudjuk ezeket az adatokat. Az Intézet munkatársai a korábbi években számos ilyen eszközt fejlesztettek ezen célból, de ezek nagyban függtek attól, hogy mennyire sűrűn fordulnak elő kapcsolódások a hálózatban. A 2018-as év áttörést hozott abból a szempontból, hogy lerakták egy olyan új megközelítés alapjait, amely egyesíteni tudja a legtöbb korábbi módszert és azokon messze túlmutat. Az úgynevezett „action convergence” fogalma már megszületése után közvetlen alkalmazásra talált a véletlen mátrixok témakörében, amelyet a Nobel-díjas magyar fizikus, Wigner Jenő kezdeményezett. Sikerült megoldani egy eddig nyitott kérdést véletlen mátrixok sajátvektorainak szerkezetéről. A véletlen mátrixok sajátvektorait többek között vezeték nélküli kommunikációban, wifi-hálózatoknál is alkalmazzák. A 3. és a 4. ábrán véletlen mátrixok sajátvektorainak tapasztalati eloszlása látható.

3. ábra

3. ábra

4. ábra

4. ábra

A hálózatokkal kapcsolatos kutatásaik több szempontból is kapcsolódnak a mesterséges intelligencia területén végzett munkájukhoz. Az Intézetben zajló mesterséges intelligencia kutatások elsősorban a modern neurális hálózatok köré csoportosulnak. Céljuk, hogy ennek a roppant sikeres és fontos területnek az elméleti alapjait feltárják. A kutatások igyekeznek megérteni a neurális hálózatok belsejében létrejövő, úgynevezett látens adatreprezentációk, mint magas dimenziós térbe ágyazott sokaságok struktúráját, illetve a látens reprezentációk kapcsolatát a hálózat általánosító képességével. Ezen vizsgálódások eredményeképp kidolgoztak egy úgynevezett gradiens regularizációs módszert, mely segíti a hálózatok általánosító képességét olyan helyzetekben, amikor kifejezetten kevés adatból kell tanulniuk.

A fenti eredményt a következő két cikkben közölték a szerzők:

  1. Á. Backhausz, B. Szegedy: On the almost eigenvectors of random regular graphs, The Annals of Probability (közlésre elfogadva);
  2. Á. Backhausz, B. Szegedy: Action convergence of operators and graphs. [arXiv:1811.00626]

3. Kiemelkedő társadalomban hasznosuló eredmény

A tőzsdei folyamatok napjainkban minden korábbinál intenzívebbé váltak. Ez részben a rendkívül sebes algoritmikus kereskedésnek köszönhető, melynél tízezred másodpercekben számolunk. Olyan bonyolult rendszer alakult ki, melyben az egyes befektetők elszenvedői, de egyben okozói is a szeszélyes árváltozásoknak. Hiába azonban a véletlen bőséges jelenléte, a rendszer mégis szigorú törvényszerűségeknek látszik engedelmeskedni. A pénzügyi matematika egyik fő feladata ezek feltárása. Ilyen „természeti törvények” ismerete fontos támpontokat adhat a kereskedés résztvevőinek csakúgy, mint a tőzsde szabályozóinak. A Rényi Intézet munkatársai kutatásaikban értékpapírok árfolyamatainak emlékezetét vizsgálták. A korábbi árak hatnak a mai árra. E hatás erőssége csökken, ahogyan mélyebbre megyünk a múltba. Ezt a jelenséget a korreláció statisztikai fogalma írja le jól: jelöljük r(k)-val annak mérőszámát, hogy a k másodperccel ezelőtti árváltozás mennyire befolyásolja a jelen pillanatban történő árváltozást. A korreláció lehet pozitív vagy negatív, mi most az egyszerűség kedvéért csak a pozitív esettel foglalkozunk, amikor az ár jellemzően a korábbi irányt tartja (azaz, ha eddig nőtt, akkor nagy eséllyel ezután is nőni fog).

Tipikusan k növekedésével az r(k) korreláció csökken, nagy k-ra már közel van a 0-hoz, hiszen a régen történt dolgok hatása elenyészik. A csökkenés üteme jól jellemzi az adott árfolyamat memóriáját. Tegyük fel, az egyszerűség kedvéért, hogy r(k) = kb valamely k (0 és 1 közötti) számra. Rásonyi Miklósnak és szerzőtársainak elsőként sikerült pontos összefüggést találniuk az árfolyamat memóriája és a hosszú távú befektetések viselkedése között. Megmutatták, hogy ha r(k) körülbelül kb, akkor nagy T-re a [0, T] intervallumon nagyjából T3-b az elérhető legjobb várható hozam. Ez egy általános összefüggés a memória és a kereskedés sikerének kapcsolatára. Megállapították azt is, hogyan függ ez a hozam a piac likviditásától, azaz attól, hogy mennyire olajozottan adhatók-vehetők az értékpapírok.

Megvizsgálták az optimális befektetés kockázatát is: az 5. ábra az egységnyi kockázatra jutó hozamot szemlélteti a b paraméter függvényében. Láthatóan minél kisebb b (azaz minél erősebb a folyamat memóriája), annál jobb eredménnyel lehet kereskedni.

5. ábra

5. ábra

A fenti eredményt a következő cikkben közölték a szerzők: Guasoni, M. Rásonyi: Trading fractional Brownian motion, SSRN repository number: 2991275