2020
- Hutchcroft T, Pete G: Kazhdan groups have cost 1, INVENTIONES MATHEMATICAE 221:3 873-891. (2020) http://real.mtak.hu/122154/
- Pach J, Tomon I: On the chromatic number of disjointness graphs of curves, JOURNAL OF COMBINATORIAL THEORY SERIES B 144: 167-190. (2020) http://real.mtak.hu/122157/
- Nemes G, Daalhuis AB: Large-parameter asymptotic expansions for the Legendre and allied functions, SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS 52:1 437-470. (2020) http://real.mtak.hu/122158/
- Nagy J, Némethi A: The Abel map for surface singularities II. Generic analytic structure, ADVANCES IN MATHEMATICS 371: Paper: 107268 (2020) http://real.mtak.hu/122159/
- Mészáros A: The distribution of sandpile groups of random regular graphs, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373: 6529-6594. (2020) http://real.mtak.hu/112305/
- Mészáros A: Limiting entropy of determinantal processes, ANNALS OF PROBABILITY 48:5 2615-2643. (2020) http://real.mtak.hu/112304/
- Böröczky KJ, Lutwak E, Yang D, Zhang G, Zhao Y: The Gauss image problem, COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED MATHEMATICS 73:7 1406-1452. (2020) http://real.mtak.hu/114316/
- Holmsen AF, Nassajian MH, Pach J, Tardos G: Two extensions of the Erdős-Szekeres problem, JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY 22:12 3981-3995. (2020) http://real.mtak.hu/112454/
- Gehér GP, Titkos T, Virosztek D: Isometric study of Wasserstein spaces - the real line, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373: 5855-5883. (2020) http://real.mtak.hu/112312/
- Kiss G, Malikiosis RD, Somlai G, Vizer M: On the discrete Fuglede and Pompeiu problems, ANALYSIS & PDE 13:3 765-788. (2020) http://real.mtak.hu/92457/
- Harcos G, Soltész D: New bounds on even cycle creating Hamiltonian paths using expander graphs, COMBINATORICA 40: 435-454. (2020) http://real.mtak.hu/122160/
- Domokos M, Drensky V: Cocharacters for the weak polynomial identities of the Lie algebra of 3 × 3 skew-symmetric matrices, ADVANCES IN MATHEMATICS 374: Paper: 107343 (2020) http://real.mtak.hu/112597/
- Lutsko C, Tóth B: Invariance Principle for the Random Lorentz Gas - Beyond the Boltzmann-Grad Limit, COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS 379: 589-632. (2020) http://real.mtak.hu/112591/
- Alfieri A, Kang S, Stipsicz AI: Connected Floer homology of covering involutions, MATHEMATISCHE ANNALEN 377:3-4 1427-1452. (2020) http://real.mtak.hu/112241/
- Abért M, Tóth LM: Uniform rank gradient, cost, and local-global convergence, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373:4 2311-2329. (2020) http://real.mtak.hu/122162/
2020 kiemelt tudományos eredményei
Algebrai geometria és differenciáltopológia osztály
Publikáció: Nagy J, Némethi A: The Abel map for surface singularities II. Generic analytic structure, ADVANCES IN MATHEMATICS 371: Paper: 107268 (2020) http://real.mtak.hu/122159/
A klasszikus algebrai geometria egyik centrális kutatási területe a Brill-Noether-elmélet. Ez az algebrai görbék tulajdonságait tanulmányozza. Az algebrai görbéket régebben még többdimenziós polinomok zérushelyeiként írták le, a modern geometria már absztrakt görbékként képzeli el őket, és pont a Brill-Noether-elmélet az, amely ezen görbéknek a projektív terekbe való különböző beágyazhatóságait tanulmányozza. (1. ábra) Ezeket a görbén értelmezhető vonalnyalábok kohomológiái írják le. A válasz függhet a görbe algebrai tulajdonságaitól, a hagyományos Brill-Noether-elmélet a generikus struktúrát célozza meg. A fő technikai apparátus az Abel-leképezés, amely divizorokhoz vonalnyalábokat rendel, és a leképezés fibrum-struktúrája hordozza a kulcsinformációt.
1. Komplex görbék és Brill-Noether-elmélet
Nagy János és Némethi András az utóbbi években írt cikksorozatban kidolgozta az Abel-leképezések elméletét a komplex analitikus felületszingularitások esetére, és a klasszikus Brill-Noether-feladatkör számos kérdését válaszolta meg ebben az esetben. Itt nem csak az eggyel magasabb dimenzió akadályait kellett legyőzni, hanem a szingularitás-elmélet számos technikai eredményét kellett beépíteni az új elméletbe. (Ezek írják le egy felületen megjelenő degenerált, szinguláris pont jellemzőit.)
Az új környezet, ahol a vonalnyalábok kohomológiáit meg kell határozni, az a felület szingularitás feloldásának tere, amely bizonyos (úgynevezett kivételes) görbék infinitezimális környezete. Itt kellett a divizorok terét és az új Abel-leképezést értelmezni, meghatározni a fibrum-struktúrát, kiszámítani a vonalnyalábok kohomológiáit, és jellemezni azon eseteket amikor az Abel-leképezés domináns. Ez az úttörő munka hét cikkben jelent meg, a munka folytatódik.
A cikksorozat második cikke (amelyet az Advances in Mathematics közölt le) tanulmányozza a generikus analitikus esetet (amely a klasszikus Brill-Noether-eset megfelelője). Az eredmények rávilágítanak a felületszingularitások két alaposztályozásának egymásra hatására is. Az egyik a topológiai osztályozás, azon tulajdonságok jellemzése, amik csak a topológiától függnek, és amelyek a feloldási gráfból kombinatorikusan (elvileg) kiszámolhatók. Ezzel szemben az analitikus (algebrai) invariánsok sokkal mélyebb tulajdonságokat hordoznak, meghatározásuk néha reménytelen. Ennek ellenére a fenti cikkben a szerzőknek sikerült a generikus struktúra esetében leírni a legfontosabb analitikus invariánsokat a feloldási gráf kombinatorikájából. Ezen eredmények az Abel-leképezés bevezetése előtt teljesen reménytelennek számítottak. Ez határozottan igazolja az újonnan bevezetett Abel-leképezés fontosságát és erejét. Az a tény is kihangsúlyozandó, hogy az invariánsokra újonnan talált formulák is teljesen új típusúak, a topologikus kifejezések teljes átgondolására és újraértékelésére ösztökélnek.
Az újonnan meghatározott invariánsok között vannak a következők: a geometriai nem (génusz), a természetes vonal nyalábok kohomológiái, a lokális függvényalgebra különböző diszkrét jellemzője (mint a Hilbert-sor, vagy Poincaré-sor). Továbbá pár olyan ciklus azonosítása, amelyek az analitikus típust jellemzik: a maximális ideál ciklusa vagy a kohomológiai ciklus. A bizonyítások részben Laufer forradalminak értékelt deformáció-elméleti munkáira támaszkodnak, de ezek mellett számos új szerkesztés és ötlet vezetett a végső eredményekhez.
Csoportok és gráfok Lendület-kutatócsoport
Publikációk:
Mészáros A: The distribution of sandpile groups of random regular graphs, TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 373: 6529-6594. (2020) http://real.mtak.hu/112305/
Mészáros A: Limiting entropy of determinantal processes, ANNALS OF PROBABILITY 48:5 2615-2643. (2020) http://real.mtak.hu/112304/
Mészáros András bebizonyította, hogy d ≥ 3-ra véletlen d-reguláris irányított gráfok sandpile csoportjának p-Sylow részcsoportja a Cohen-Lenstra-heurisztikát követi, azaz, ha a csúcsok számával a végtelenbe tartunk, határértékben annak a valószínűsége, hogy a sandpile csoport p-Sylowja egy adott G véges kommutatív p-csoporttal izomorf, arányos |Aut(G)| inverzével. (2. ábra) Ez az eloszlás először Cohen és Lestra egy számelméleti sejtésében jelent meg. Mivel a sandpile csoportot úgy definiáljuk, mint a gráf redukált Laplace-mátrixának komagját, a fenti eredmény szempontjából relevánsabb Wood következő eredménye. Tekintsünk egy véletlen négyzetes mátrixot, ahol a mátrix elemei egész számok, függetlenek és nem-elfajultak egy bizonyos értelemben. Ekkor ezen mátrix komagjának p-Sylow részcsoportja aszimptotikusan a Cohen-Lenstra-heurisztikát követi. Mivel a véletlen d-reguláris gráfok Laplace-mátrixának elemei messze nem függetlenek, továbbá ezen mátrixok sokkal ritkábbak, mint a Wood eredményében szereplő mátrixok, ezért meglepő, hogy ezen véletlen mátrixok komagjainak p-Sylow részcsoportjai ugyanúgy viselkednek.
2. Egy sandpile csoport
Mészáros a véletlen d-reguláris irányítatlan gráfok sandpile csoportja p-Sylow részcsoportjának is meghatározta a határeloszlását, ez páratlan p-re egybeesik a Clancy, Leake, Kaplan, Payne és Wood által vizsgált eloszlással, ami a sűrű Erdős-Rényi-gráfok sandpile csoportjának Wood által vizsgált limeszében is felbukkan. Azonban, ha d páros és p = 2, akkor egy eddig nem vizsgált határeloszlást kapunk.
Mészáros eredményeinek egy további következménye az, hogy minden fix d ≥ 3-ra annak a valószínűsége, hogy egy véletlen d-reguláris gráf adjacencia mátrixa szinguláris, a nullához tart, ahogy a csúcsok száma tart végtelenhez. Ez megválaszolja Frieze és Vu egy nyitott kérdését. Ezt a problémát tőle függetlenül Huang is megoldotta.
Hasonló gondolatok kerültek alkalmazásra a következő (szintén Mészáros által megoldott) problémában. Vegyünk egy véges gráfot és egy r látósugarat. Válasszuk ki a gráf egy uniform véletlen csúcsát, amit gyökérnek nevezünk, majd tekintsük ennek a véletlen gyökérnek az r sugarú környezetét, így egy véletlen gyökeres r sugarú környezetet kapunk. Most vegyünk két gráfot. Azt mondjuk, hogy ezek lokális értelemben közel vannak egymáshoz, ha egy kellően nagy r sugárra, a fenti módon definiált véletlen környezetek eloszlása a két gráfra közel van egymáshoz. Ezt az informális definíciót precízzé téve definiálható egy jól viselkedő topológia azon gráfok terén, amelyeknek maximális fokszáma legfeljebb D, valamely fix D konstansra. Ezt a topológiát gyakran Benjamini-Schramm-topológiának nevezik. (3. ábra) Egy alapvető kérdés ebben a témakörben, hogy melyek a Benjamini-Schramm folytonos gráf paraméterek. Az egyik leghíresebb ilyen folytonossági tétel Lyons tétele, ami azt mondja ki, hogy egy folytonos gráf paraméter, ahol a G gráf feszítőfáinak számát jelöli. Ez a gráf paraméter másképpen úgy is kifejezhető, mint az uniform véletlen feszítőfa normalizált Shannon-entrópiája. Ha adott egy ortogonális projekció mátrix, akkor ennek segítségével egy most nem részletezett módon lehet definiálni egy véletlen bázisát a mátrix oszlopainak. Az így konstruált véletlen bázist diszkrét determinantal folyamatnak nevezzük. Az uniform mérték egy véges gráf feszítőfáin az egyik legfontosabb példa diszkrét determinantal folyamatokra. A Benjamini-Schramm-topológia mintájára definiálhatunk egy topológiát az olyan (G,P) párokon, ahol G egy véges gráf, P egy ortogonális projekció mátrix, ahol az oszlopok és sorok a G csúcsival vannak indexelve. Lyons tételét általánosítva Mészáros bebizonyította, hogy a (G,P) párhoz tartozó determinantal folyamat normalizált Shannon-entrópiája folytonos ebben a topológiában egy bizonyos technikai feszességi feltétel mellett.
3. Benjamini-Schramm-konvergencia
Algebra osztály
Publikáció: Domokos M, Drensky V: Cocharacters for the weak polynomial identities of the Lie algebra of 3 × 3 skew-symmetric matrices, ADVANCES IN MATHEMATICS 374: Paper: 107343 (2020) http://real.mtak.hu/112597/
A dolgozatban Domokos Mátyás a Bolgár Tudományos Akadémia Matematikai és Informatikai Intézetének igazgatójával, Vesselin Drenskyvel együttműködésben kiszámította a háromszor hármas ferdén szimmetrikus mátrixok polinominvariánsainak kokarakter sorát. Általános elvek alapján elegendő a multilineáris azonosságokkal foglalkozni. Ezek terén természetes módon hat a szimmetrikus csoport. A kokarakter sor a szimmetrikus csoport ezen reprezentációjának az izomorfia típusát kódolja. Bizonyos értelemben ez egy finomabb formában tárolja azt az információt, hogy adott fokszámban mennyi azonosság van.
Mátrixok és velük végzett műveletek a matematika majdnem minden ágában felbukkannak, ezért érdekes ezek tulajdonságainak, azonosságainak a vizsgálata. A háromszor hármas ferdén szimmetrikus mátrixokból álló Lie-algebra egy speciális, de alapvető fontosságú matematikai objektum. Ez a rá vonatkozó explicit kvantitatív eredmény illeszkedik egy általánosabb problémakörbe, méghozzá Lie-algebrák reprezentációi által kielégített polinomazonosságok tanulmányozásába. Lie-csoportok reprezentációi központi szerepet játszanak a matematika egészében és egyes elméleti fizikai alkalmazásokban, lévén, hogy általuk ragadhatók meg különféle struktúrák szimmetriái. Vizsgálatuk visszavezethető egy könnyebben kezelhető objektum, a Lie-algebrájuk reprezentációinak elemzésére. (4. ábra) A Lie-algebrák szerkezeti építőkövei az úgynevezett egyszerű Lie-algebrák. A tárgyalt eredmény más megfogalmazásban a legkisebb egyszerű Lie-algebra három dimenziós irreducibilis reprezentációja által teljesített polinomazonosságok kokarakter sorának a meghatározása. Az egyszerű Lie-algebrák irreducibilis reprezentációi közül korábban kizárólag ugyanezen Lie-algebrának a kettő dimenziós irreducibilis reprezentációja esetén volt ismert a megfelelő kokarakter sor, egy 1984-ben megjelent cikknek köszönhetően. Ez a tény azt jelzi, hogy csak erősen limitált, alacsony dimenziós esetekben van remény ennyire explicit és pontos eredmény elérésére.
4. Lie-csoport és Lie-algebra
Jelen esetben a megoldás kulcsa egy, a klasszikus invariánselméletben minden részletében megértett gyűrűvel, az ortogonális csoport vektor invariánsainak algebrájával való, az előre láthatónál is szorosabbnak bizonyuló kapcsolat volt. Egy, a kétdimenziós irreducibilis reprezentációról szóló megfelelő számolásban használt módszer továbbfejlesztése lehetőséget adott a kokarakter sorban szereplő multiplicitások felső becslésére. Mint utóbb kiderült, a keresett multiplicitás valójában majdnem minden összeadandóra eléri az így kapott korlátot. Ezt a szerzők az általános lineáris csoport polinomiális reprezentációinak elméletét alkalmazva úgy tudták igazolni, hogy a megfelelő tenzoralgebrában explicit legmagasabb súlyú vektort konstruáltak minden elvárt direkt összeadandóhoz. Ezáltal lényegében normálformát adtak a ferdén szimmetrikus háromszor hármas generikus mátrixok algebrájának elemeire, vagy más megfogalmazásban, bázist adtak a háromszor hármas ferdén szimmetrikus mátrixok terén értelmezett algebrai kifejezések terében. Az említett generikus mátrixalgebra természetes módon modulust alkot egy hatváltozós kommutatív polinomalgebra felett. A cikk ennek a modulusnak a szerkezetét is feltárja.
A dolgozat jelentősége, hogy alapvető matematikai objektumok algebrai invariánsainak kvantitatív leírásához járul hozzá egy új példa kiszámításával olyan területen, ahol nagyon kevés hasonló eredmény ismert, és vélhetően kevés hasonló elérésére van esély. Ugyanakkor erre a számításra támaszkodhat esetleges későbbi számítás ugyanúgy, mint ahogy a jelen munka is felhasznált klasszikus invariánselméleti formulákat.